Pierre DUSART

Equipe XLIM/MATHIS/TN

Thèmes  de recherche :

• Théorie des Nombres
• Cryptographie
• Carte à puce
• Sécurité de l'information

Erdos Number : 2 (Thanks to Marc Deléglise)

ORCID ID : orcid.org/0000-0003-2184-9022
 

Sujet de thèse :

• Théorie analytique des nombres : Etude de fonctions impliquant les nombres premiers
  

La théorie des nombres est une partie des mathématiques qui s'intéresse aux nombres.
Avec les nombres on peut faire des additions, des multiplications mais que faire de plus?

On peut définir certaines propriétés (par exemple un nombre est pair si c'est un entier multiple de 2, et impair sinon).

Juste avec ces propriétés, des questions peuvent se poser :
On prend un nombre entier n quelconque. On répète la suite de calculs suivante :
Si le nombre est pair, il est divisé par 2. S'il est impair on le multiplie par 3 et on rajoute 1.
On recommence avec le nombre obtenu.
Ex : 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
On peut s'arrêter ici car à 1, on retrouve 4 et on retombe sur la même suite.
Autre exemple (autre point de départ): 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

Question : Retrouve-t-on toujours 1 dans cette suite avec n'importe quel point de départ ?    Réponse

Avec d'autres propriétés, par exemple un nombre premier (entier qui admet exactement deux diviseurs distincts), d'autres problèmes se posent :
Il est facile de montrer qu'il y a une infinité de tels nombres mais comment se répartissent-ils? Peut-on les retrouver rapidement ou les distinguer des autres nombres?
Une partie de ces questions a été abordée dans ma thèse.

D'autres thèmes sont abordés dans mes recherches.

Pourquoi s'intéresser à la Cryptographie?
Simplement certaines méthodes pour chiffrer un message (Cryptographie) sont directement liées à des problèmes difficiles de théorie des nombres.
Par exemple des systèmes comme RSA utilisent des propriétés de certains nombres (nombres premiers) comme base de calcul. 

Ensuite pourquoi s'intéresser à la Carte à puce?
Les algorithmes précédents sont souvent utilisées pour sécuriser les transactions en stockant les clefs secrètes et l'algorithme de chiffrement dans une carte à puce. Il est intéressant de trouver des algorithmes rapides et plus sûrs ou plus pratiques que ceux existants.

Enfin pourquoi s'intéresser à la Sécurité de l'information?
Les études précédentes débouchent naturellement sur la sécurité de l'information car il faut prendre en compte non seulement la carte et son logiciel mais aussi l'environnement (les usagers et les systèmes interconnectés) pour construire un systême sûr.

Cela amène à considérer des domaines au final très variés en partant des mathématiques, de l'informatique, de l'électronique pour revenir vers des mathématiques (appliquées?).