Page personnelle de Tristan Vaccon

Journée spéciale Non-Archimédienne à Limoges : 7 décembre 2021

Bienvenue sur la page de la Journée spéciale Non-Archimédienne à Limoges. Elle a lieu le 7 décembre 2021 en salle XR203 de 10h à 16h.

Le but de cette journée est de rassembler les membres de la Fédération Margaux intéressés par tout ce qui est non-archimédien, notamment ce qui est lié aux nombres p-adiques.

Merci à toute personne souhaitant participer de me contacter (tristan.vaccon@unilim.fr) pour préparer la logistique. Merci aussi de s'inscrire à cette page .

Voici le programme provisoire :

10h30-11h30 : Mercedes Haiech, Calculer le support des solutions d’équations différentielles (partielles) par des techniques de géométrie tropicale ;
14h-15h : Xavier Caruso, Factorisation par les pentes des polynômes de Ore et applications aux équations différentielles p-adiques ;
15h-16h : Paul Broussous (à confirmer), Une introduction aux immeubles de Bruhat-Tits ;

La liste des exposés avec les résumés :

Mercedes Haiech, Calculer le support des solutions d’équations différentielles (partielles) par des techniques de géométrie tropicale :
Étant donnée une équation différentielle et une solution sous forme de série formelle, on peut calculer le support de la solution qui est une partie de N. Cependant, on peut calculer les parties de N qui sont des supports de solution d'une équation différentielle fixée sans avoir à calculer de solution, et ce, grâce à des méthodes issues de la géométrie tropicale. Un article de 2016, "The Fundamental Theorem of Tropical Differential Algebraic Geometry" explique ce lien pour des équations différentielles ordinaire, tandis que sa généralisation "The Fundamental Theorem of Tropical Partial Differential Algebraic Geometry" de 2020 donne le cadre adapté pour traiter le cas des équations différentielles partielles.
Paul Broussous, Une introduction aux immeubles de Bruhat-Tits :
Motivés par l'étude des groupes algébriques sur un corps p-adique, étude elle-même motivée par le programme de Langlands, Bruhat et Tits ont construit, pour chaque groupe réductif sur un corps p-adique, un espace métrique sur lequel il agit par isométries. Ces espaces à la structure riche ont de nombreuses applications en théorie des groupes et des représentations. Nous nous efforcerons de donner une introduction élémentaire à ces objets, introduction illustrée d'exemples, et si le temps le permet, d'esquisser quelques applications remarquables.
Xavier Caruso, Factorisation par les pentes des polynômes de Ore et applications aux équations différentielles p-adiques :
L'énoncé le plus classique de "factorisation par les pentes" porte sur les factorisation des polynômes p-adiques à l'aide des polygones de Newton. Toutefois la philosophie de la factorisation par les pentes ne s'arrête pas ici et il est remarquable, lorsque l'on parcourt la littérature, de constater que des énoncés de même nature apparaissent dans des domaines variés allant de l'algèbre semi-linéaire (e.g. théorème de Dieudonné-Manin, théorèmes de Kedlaya) à celui des équations fonctionnelles de tout type (équations différentielles classiques ou p-adiques, équations aux différences et aux q-différences, équations de Mahler, etc.). Dans cet exposé, je montrerai que le point de vue des polynômes de Ore fournit un cadre unifié à tous les résultats précédemment cités. Je donnerai ensuite un théorème -- et un algorithme -- général de factorisation par les pentes des polynômes de Ore, qui pourront ensuite se décliner dans de nombreux contextes. J'expliquerai en particulier comment ce point de vue permet de redémontrer facilement aussi bien le théorème de Dieudonné-Manin que des théorèmes généraux sur la décomposition des équations différentielles p-adiques. Dans ces deux situations, je donnerai en outre des solutions algorithmiques efficaces pour mettre en oeuvre les théorèmes suscités.