La totalité diagrammatique en mathématiques et en art

Note de bas de page 1 :

Il faut préciser qu’il ne faut pas entendre le terme diagramme – comme le font d’ailleurs certains sémioticiens – comme un synonyme de schéma ou de graphique, à savoir comme un dispositif identifiable par des flèches, des symboles, des chiffres, des axes cartésiens, etc. Cette perspective engloberait toutes les visualisations caractérisées par une certaine organisation topologique, sans rendre compte des raisons profondes qui rendent nécessaire l’utilisation de ce dispositif. De plus, cette conception s’appuyant sur un point de vue portant sur une certaine organisation du plan de l’expression, exclurait par exemple les images proprement dites, et se placerait ainsi non seulement à l’opposé de la notion peircienne d’iconicité abstraite mais aussi d’une perspective sémiotique tout court – si l’on conçoit le niveau sémiotique comme une médiation entre plan de l’expression et plan du contenu. Concevoir le diagramme comme des formes schématiques ou graphiques identifiées a priori à partir d’une certaine organisation topologique ne prendrait pas en compte le fait que par exemple des photographies peuvent, dans certains cas, fonctionner diagrammatiquement : comme l’affirme Peirce, la catégorie des icônes abstraites, les diagrammes justement, comprend aussi bien les formules algébriques que les photographies composites, par exemple un certain nombre d’images stratifiées desquelles puissent ressortir des formes moyennes. La notion d’icône abstraite, chez Peirce, recouvre donc des phénomènes très divers en ce qui concerne la topologie du plan de l’expression mais qui sont liés par des fonctionnements similaires concernant la mise en relation du plan de l’expression et du plan du contenu. À ce propos, voir Basso Fossali & Dondero (2011).

Note de bas de page 2 :

Cette distinction est due au philosophe analytique Goodman (1968) qui utilise ces termes pour désigner principalement deux régimes des arts, celui qui est exemplifié au mieux par la peinture (autographique) et celui qui est exemplifié par la musique (allographique). Dans ce dernier cas, dans une partition, le style et grosseur de l’écriture ou de la typographie, couleur de l’encre, nature du papier, bref ce qui caractérise la sensori-motricité d’un producteur et le support de son inscription, ne se révèlent pas comme pertinents à la signification de la partition ni préjugent la qualité de son exécution. Seule importe ce qu’on peut appeler son identité orthographique, c’est-à-dire une correspondance exacte quant aux séquences de lettres, aux espacements et aux signes de ponctuation. Dans le premier cas, celui de la peinture, comme il n’existe pas un alphabet de caractères, aucune des propriétés que l’image possède en tant que telle n’est distinguée comme constitutive : aucun trait de ce type ne peut être écarté comme contingent et aucune déviation comme non significative. Tout trait est donc constitutif et fait sens pour son ancrage au fait historique de son instanciation. Sur autographie et allographie voir aussi Dondero (2010c).

La problématisation de la notion de diagramme1, qui est fortement liée à celle de méréologie, vise ainsi à éclaircir le rôle de la perception et de l’action dans le domaine des mathématiques et à se demander si elle peut être utile dans le cas de la compréhension de l’œuvre d’art. Si dans l’art comme dans les mathématiques, chaque trait appartenant à une configuration visuelle participe d’une totalité et doit occuper la bonne place pour que la totalité puisse fonctionner en tant que telle, la première différence évidente paraît être que la totalité est démontable et répétable en mathématiques (régime de l’allographie) tandis qu’en art elle est normalement considérée comme définitive et unique (régime de l’autographie)2. Nous reviendrons sur les différents types de totalité en mathématiques et en art (tableau, sculpture, art environnemental) mais nous pouvons déjà affirmer que chaque démarche qui amène à la production d’une totalité en mathématiques autant qu’en art vise l’instauration d’un nouvel objet qui puisse transformer les orientations pratiques de son propre domaine d’exercice, – ce qui d’ailleurs est typique du régime considéré, par Goodman (1968), comme intermédiaire entre l’autographique et l’allographique : le régime de la diagrammaticité. Notre hypothèse est qu’on puisse trouver un fonctionnement similaire, voire diagrammatique, entre l’effet démonstratif des représentations graphiques en mathématique et l’effet de complétude d’une œuvre d’art et notamment d’une œuvre picturale. Nous mettrons donc en comparaison la théorie du diagramme chez Peirce dans le cadre des mathématiques et la notion de totalité chez le mathématicien René Thom utilisée dans ses réflexions sur l’esthétique et la peinture.

Note de bas de page 3 :

Dans d’autres travaux (Dondero 2010a et 2010c) j’ai utilisé les suggestions de Goodman pour mettre en rapport le diagramme d’un côté (où la saturation de traits pertinents pour sa signification est atténuée) et les représentations saturées de traits pertinents telles la peinture et en maints cas aussi la photographie, de l’autre.

Note de bas de page 4 :

La question est « classique » car elle revient sur une interrogation ancienne : est-ce qu’on peut percevoir et surtout représenter visuellement quelque chose qui peut valoir comme une vérité générale ? Est-ce que les traits visuels peuvent assurer un accès à la généralité, et des configurations visuelles devenir ainsi des instruments modélisant une classe d’objets ?

Note de bas de page 5 :

Le diagramme est aussi appelée icône abstraite par Peirce. La notion d’icône abstraite pourrait apparaître comme une contradiction dans les termes en raison du couplage entre quelque chose qui se veut enraciné dans la perception et qui est en même temps général. Le diagramme vise en fait à poursuivre la question posée par le schématisme et la notion de synthétique a priori kantiens. Si, chez Kant, le schématisme visait à résoudre la dualité entre intuition (représentations singulières) et concept (représentations générales), chez Peirce l’utilisation du diagramme, à partir donc d’un point de vue sémiotique – sémiotique au sens où l’on pense par des signes –, vise à résoudre la dualité singularité-généralité et la dualité observabilité-imagination en les pensant non pas comme opposées mais comme une bipolarité tensive qui fait la caractéristique principale du diagramme.

Dans Dondero (2010b) nous avons argumenté le fait que l’image en sciences mathématiques peut fonctionner comme terrain d’opérations expérimentales ayant comme but une démonstration, cette dernière étant à concevoir comme l’effet de cumulation et de totalisation des différentes expériences sur la visualisation elle-même : l’image serait donc à entendre comme un dispositif crucial de la formulation d’une nouvelle hypothèse sur un objet de recherche. Nous avons également cherché à montrer que l’image, même dans des cadres autres que la mathématique, tout en ne possédant pas une organisation linéaire, des éléments minimaux, ni une grammaire de traits disjoints, ni des règles syntaxiques rendant possibles la combinatoire contrôlée3 – comme c’est le cas par contre du langage formel –, n’est pas pour autant privée de pouvoir démonstratif4 ; au contraire elle peut même servir de modèle pour comprendre le fonctionnement diagrammatique tout court5 : d’ailleurs c’est ce qui est suggéré dans la théorie peircienne du diagramme – et abondamment discuté par Chauviré (2008) et par Brunet (2000).

Note de bas de page 6 :

On rappelle que la catégorie des hypoicônes comprend les images, les diagrammes et la métaphore : « On peut en gros diviser les hypoîcones suivant le mode de la priméité à laquelle elle participent. Celles qui font partie des simples qualités ou premières priméités sont des images ; celles qui représentent les relations, principalement dyadiques ou considérées comme telles, des parties d’une chose par des relations analogues dans leurs propres parties, sont des diagrammes ; celles qui représentent le caractère représentatif d’un representamen en représentant un parallélisme dans quelque chose d’autre sont des métaphores » (Peirce, 1931-35, 2.276-7).

Chez Peirce le diagramme est une sous-catégorie de la catégorie de l’hypoicone6, et est conçu comme l’instrument majeur de toute pensée nécessaire et créatrice. Pour expliquer le fonctionnement expérimental du diagramme, il faut prendre en considération une distinction que Peirce fait entre le raisonnement corollariel et la procédure déductive théorématique. Le premier ne concerne que des inférences purement analytiques, donc appartenant à la pure logique tandis que la deuxième appartiendrait au domaine interdisciplinaire de l’épistémique. Chauviré explique la différence entre corollariel et théorématique de la manière suivante :

Note de bas de page 7 :

Chauviré (2008, p. 36, nous soulignons).

deux cas peuvent se présenter : soit la conclusion est directement lue dans le diagramme initial par simple inspection, c’est-à-dire que les relations qui rendent possibles la conclusion sont immédiatement perçues sans qu’on doive retoucher le diagramme [c’est le cas du corollariel] ; soit il est nécessaire de le modifier par des constructions supplémentaires [c’est le cas du théorématique] […]. L’adjonction de telles constructions est dépeinte comme une expérimentation effectuée sur le diagramme, analogue à celle pratiquée en physique et en chimie sur un échantillon. Dans ce dernier cas c’est la perception de relations (entre les parties du diagramme) autres que celles qui apparaissent dans le diagramme initial qui permet la lecture de la conclusion7.

Note de bas de page 8 :

Le traçage de lignes subsidiaires devrait provoquer une véritable expérimentation sur la visualisation mathématique elle-même, « analogue à celle pratiquée en physique et en chimie sur un échantillon ». Cela reviendrait à dire qu’on attend des réponses de la part de la visualisation mathématique comme on les attend d’un échantillon soumis à des opérations desquelles quelque chose d’inconnu auparavant est censé ressortir. Si la visualisation doit « répondre » à des opérations du mathématicien, cela signifie que la visualisation mathématique est comparée à une image ressortant d’une expérience en laboratoire, qui est censée répondre aux « provocations-stimulations » auxquelles elle est soumise. Sur le dessin mathématique entendu comme terrain d’expérience majeur voir aussi Châtelet (1993).

Ce qui différencie le corollariel du théorematique est que ce dernier permet la manipulation, voire l’expérimentation tandis que le corollariel manque de cette étape et reste une démarche purement logique. Ce type d’expérimentation mathématique passe par la spatialisation des grandeurs spatiales et non spatiales (par exemple, les relations logiques, etc.) et par l’adjonction de « lignes subsidiaires » – appelées ici « constructions supplémentaires » – aux lignes du dessin qui suivent fidèlement les prémisses8.

Note de bas de page 9 :

Peirce (1931-35, 2.55, nous soulignons).

Peirce ajoute en fait que « maints diagrammes qu’une multitude de lignes rend compliqués et inintelligibles deviennent instantanément clairs et simples si on leur ajoute des lignes ; ces lignes supplémentaires étant de nature à montrer que les premières qui étaient présentes n’étaient que les parties d’un système unitaire »9. Peirce explique ainsi que l’adjonction de lignes subsidiaires est conduite en suivant des règles et permet de voir des formes ressortir de ces manipulations expérimentales. La constitution de formes fournit des contours, voire des configurations enveloppantes et totalisantes, aux réseaux de lignes : chaque forme constitue évidemment une totalité grâce à son contour. Peirce affirme également que dans les dessins autant que dans les formules algébriques, des formes émergent, à la suite de l’adjonction de lignes subsidiaires, instantanément : cette instantanéité perceptive est ce qui caractérise chez le philosophe américain l’évidence de la démonstration, à savoir le moment conclusif de l’expérimentation. Ce ne sont pas les opérations logiques (autrement dit, les signes généraux) qui ont le pouvoir de fonctionner comme des démonstrations voire comme des parcours nécessaires vers un nouveau savoir : ici, pour qu’il y ait démonstration, il faut que, à partir de ces signes généraux, des formes émergent tout au long de l’acte expérimental en s’imposant à la perception comme des totalités.

Note de bas de page 10 :

Voir à ce propos Peirce (idem, 4.532).

Chez Peirce, seules les icônes ont le pouvoir d’exhiber une nécessité, un devoir être10 parce qu’elles seules peuvent montrer l’émergence de formes et de totalités à partir des manipulations de lignes qui pourraient apparaître au premier abord comme désordonnées, incomplètes et insignifiantes. Les icônes sont les seuls signes capables d’exhiber une nécessité car elles rendent sensibles les relations entre des lignes par des formes, à savoir par des relations de traits qui se composent en unités et apparaissent comme des totalités accomplies – ce qui n’est pas possible dans le cadre des symboles abstraits.

Note de bas de page 11 :

Bordron (2010, pp. 27-39).

La caractéristique de l’iconicité tient moins dans la présence de morphologies, de parties et de totalités, de texture et de plasticité que dans le fait que tous ces éléments prennent ensemble comme on le dit par exemple d’éléments matériels réunis dans un moule et qui de ce fait stabilisent peu à peu leurs rapports11.

Note de bas de page 12 :

Peirce nous dit plus précisément que la différence entre ces deux contraintes réside en cela que la perception dépend des percepts et l’image mathématique de notre imagination.

Note de bas de page 13 :

Chauviré (idem, p. 185).

Ces totalités résultent d’opérations de liaison et de déliaison conduisant des éléments divers à « prendre ensemble » rendant ainsi perceptivement évidente la nécessité d’une certaine méréologie, voire des conclusions en mathématique. C’est pourquoi Peirce a toujours rapproché la contrainte exercée sur nous par une perception ordinaire et par les conclusions mathématiques12 : les deux s’imposent à nous comme nécessaires. La perception et les conclusions mathématiques sont, selon le sémioticien américain, toutes deux caractérisées par l’émergence de configurations qui ne peuvent être que comme elles sont : « leur vérité consiste dans le fait qu’il est impossible de les corriger »13. Pour Peirce la vérité perceptive est en fait aussi irrésistible que la vérité mathématique :

Note de bas de page 14 :

Peirce (idem, 7.659).

Cette contrainte irrésistible du jugement de perception est précisément ce qui constitue la force contraignante de la démonstration mathématique. On peut s’étonner que je range la démonstration mathématique parmi les choses qui relèvent d’une contrainte non rationnelle. Mais la vérité est que le nœud de toute preuve mathématique consiste précisément dans un jugement à tout égard semblable au jugement de perception, à ceci près qu’au lieu de se référer au percept que nous impose la perception, il se réfère à une création de notre imagination14.

Note de bas de page 15 :

Cette constitution de formes qui font apparaitre une « résolution » et une conclusion nécessaire ont été développées par la théorie de l’iconicité en tant que méréologie chez Bordron (2010 et 2011).

Les formules algébriques, par exemple, bien qu’elles soient constituées de symboles, c’est-à-dire de signes généraux qui ne se rapportent à leur objet qu’en vertu de conventions arbitraires, fonctionnent selon Peirce comme des icônes car c’est la constitution de formes qui leur offre une structure unitaire et perceptivement saisissable de la totalité des relations entre ces signes généraux eux-mêmes15. Même si le diagramme est constitué de symboles, le fait qu’ils « prennent ensemble » le constitue en un dispositif hybride entre l’énonciation logique des concepts et l’exhibition de leur composition en tant que forme unitaire qui s’impose d’emblée à la perception et sans correction possible.

Note de bas de page 16 :

Sur la relation entre fragments expérimentaux et totalité démonstrative je me permets de renvoyer à Dondero (2011).

D’une certaine manière nous pourrions affirmer que la démonstration est une muséification voire une domestication du processus d’expérimentation : une constitution de totalité là où tout au long de l’expérimentation il n’y avait que des traits disjoints, situés à l’intérieur de centres d’attention qui n’arrivaient pas à fusionner. D’ailleurs la caractéristique du diagramme est de mettre en scène, en les rendant susceptibles de manipulations, voire d’expérimentation, des relations logiquement possibles en les constituant en unités : ce qui est central dans les raisonnements de ce type est la manipulation des relations entre parties qui attendent à devenir des totalités16. Il s’agit d’ailleurs de totalités qui s’imposent avec la force de percussion des percepts.

Note de bas de page 17 :

Est-ce que cette absence d’énonciateur serait jamais imaginable dans le cas d’une œuvre d’art ? Sûrement pas pendant la Renaissance, mais si aujourd’hui où les artistes contemporains valorisent de plus en plus la forme « laboratoire » de leur travail où, comme l’affirme Beyaert (2012) pour des artistes comme Wim Delvoye, l’œuvre se dématérialise en différents dispositifs plus ou moins communicationnels (conférences, articles scientifiques, etc.) ou techniques (recherches sur les matériaux utilisés, leur résistance, leur comportement, etc.), les expériences sur les animaux, etc. : de cette manière la figure du démiurge de la Renaissance et de la période romantique s’efface totalement en une collectivité humaine et non-humaine. L’œuvre n’existe comme objet que pour satisfaire le marché de l’art, qui a besoin de traiter des objets transportables et appropriables. À ce propos, voir aussi la conception de l’œuvre d’art en Chine selon Jullien (2009) où l’artiste doit s’effacer comme énonciateur pour pouvoir accueillir et rendre manifeste la beauté de la nature.

l’énonciation paraît non seulement s’effacer, ce qui serait banal, mais surtout perdre toute pertinence explicative. […] L’image [mathématique] apparaît simultanément comme un lieu d’expérience et en même temps comme récusant le sujet de l’expérience. L’imagination est créatrice et pourtant sa création semble plutôt être une découverte, ce qui est le sentiment le plus commun des mathématiciens (Bordron, infra, nous soulignons)17.

Note de bas de page 18 :

La question de la visualisation et de l’abstraction formaliste a été étudiée par Peter Galison, en développant une histoire de la physique, voire l’histoire d’une confrontation constante entre les formalismes et la nécessité de l’élément visuel comme source d’intuition et création où la reconnaissance des patterns, par exemple, joue un rôle fondamental. Non seulement dans Galison (1997), mais aussi dans Galison (2002), il est décrit la confrontation historique entre l’abstraction formaliste, l’axiomatique et les théorèmes d’une part et la constatation que la construction d’objets perceptibles, manipulables, où la vision et la sensori-motricité acquièrent un rôle, peut participer à la découverte scientifique, ainsi qu’au développement de la pensée mathématique. C’est une histoire qui concerne d’autres disciplines aussi, mais c’est surtout à l’intérieur de la physique que Galison explore les controverses, et les batailles les plus marquantes entre iconoclastes et iconophiles. Galison prend en considération des cas célèbres comme celui d’Eric Heller qui a utilisé la correspondance entre patterns visuels pour démontrer certaines correspondances entre la mécanique quantique et la mécanique classique : la similarité entre les deux mécaniques pouvait être prouvée par le biais d’une reconnaissance d’isotopies visuelles : il s’agissait d’une démonstration visuelle. Une image telle que Double diamond produite in 1983 a déclenché une controverse d’une durée de dix ans sur la question suivante : est-ce qu’une image générée par simulation est suffisante pour produire une démonstration ? Comme l’affirme Galison (2002, p. 321), ce serait une erreur de penser que l’image ne donne que le qualitatif, elle permet aussi de quantifier. Le diagramme, image manipulable, équivaut à une fusion entre nombre et densité figurative. En étudiant le cas de la chambre à bulles il affirme que « Les images des chambres à bulles se fragmentent en des mesurages numériques, les mesurages se réarrangent en des inscriptions (tracks) décrites mathématiquement ; ces inscriptions se transforment en des propriétés des particules qui sont codés numériquement (numerically) ; les propriétés des particules réforment des nouveaux types de manifestation visuelle (image displays) » (2002, p. 322, nous traduisons). Les diagrammes de Feynman constituent des exemples majeurs de ce fonctionnement (Galison 2002, p. 308) : dans ses diagrammes – qu’on pourrait appeler concepts graphiques – chaque ligne correspond à une règle de calcul : dessiner tous les parcours possibles à travers lesquels les particules pourraient interagir signifie déjà poser un problème mathématique. Dans ces diagrammes qui ont permis de simplifier les calculs de l’électrodynamique quantique, les propagateurs par exemple ne sont pas des simples dessins, ce sont bien plus des instructions pour calculer la probabilité qu’une particule située au point a se manifeste ensuite (éventuellement par un ordre de successions) au point b. Feynman eut l’idée radicale qu’une particule ne se limite pas à se déplacer en empruntant un seul chemin, mais en sondant en quelque sorte tous les chemins possibles, aussi bien ceux casuels et ondulés que ceux rectilignes. Il ne s’agit donc pas de la visualisation de quelque chose, mais de la visualisation de possibles, de la façon dont « quelque chose pourrait se passer ».

Le problème me semble-t-il est pourtant de pouvoir identifier un niveau énonciatif des équations, repérer au moins des proto-actants à l’intérieur d’une transformation, voire des actions conduites par quelques forces orientées. Un possible moyen pour la sémiotique pourrait être de « traduire » les équations en des substances du plan de l’expression autres, comme celle topologique, où un niveau énonciatif et une grammaire actantielle sont plus facilement repérables. Ce que nous pouvons étudier sémiotiquement concernant l’équation est peut-être seulement ce qu’elle transforme. Bref, ce qu’on pourrait étudier c’est sa traductibilité : est-ce qu’on peut concevoir les équations comme des centres déictiques, à partir desquels par exemple des visualisations peuvent être instanciées ? Quelle relation existe-t-il entre l’équation d’un côté et la spatialisation des valeurs mathématiques, de l’autre, par exemple en topologie algébrique ?18

Note de bas de page 19 :

Bordron (infra) poursuit ainsi : « Il existe cependant des signes mathématiques possédant une certaine motivation comme le signe (l’intégrale, les quantificateurs, etc.). Nous voulons par cette remarque faire percevoir en quel sens l’ordre sémiotique se manifeste toujours dans un rapport avec l’être, soit qu’il se confonde avec lui comme le fait le pur signifiant porteur d’évidence, soit qu’il s’en distingue radicalement comme le signe arbitraire, soit – et c’est le cas le plus fréquent – , qu’il entretienne avec lui un rapport mixte, fait de connivences et de ruptures. La particularité du signe mathématique serait alors d’occuper d’une façon privilégiée les valeurs extrêmes ».

Nous avons essayé de mettre en valeur le cas extrême où le signifiant se confond avec l’être. C’est le moment propre de l’évidence. À l’autre extrémité, non avons le signe arbitraire, le signe de convention et d’institution, qui tire sa force des règles et des usages. Entre ces deux extrêmes, il existe toute une gamme de signes plus ou moins motivés comme les empreintes, certains symboles, etc. Le signe mathématique paraît pouvoir occuper les deux pôles extrêmes du sémiotique, l’évidence géométrique et l’algèbre (Bordron, infra)19.

Note de bas de page 20 :

« Quant à l’algèbre, l’idée même de cet art est qu’elle présente des formules que l’on peut manipuler et que par observation des effets de cette manipulation on découvre des propriétés qu’on n’aurait pas discerné autrement », Peirce cité dans Chauviré (idem, p. 46).

En revenant à Peirce, ce qui nous intéresse dans sa théorie est que les formules algébriques – qui pourraient apparaître comme les êtres mathématiques les plus abstraits et conventionnels, car entièrement constitués de symboles –, sont également iconiques parce que c’est la structure unitaire qui rend perceptivement saisissable la totalité des relations et des traductions entre les signes généraux permettant la découverte de conclusions imprévues et informatives20. On s’aperçoit que la démonstration peut être décrite comme un « faire image », voire comme le résultat d’une évidence perceptive irrésistible des relations entre les parties d’un objet hypothétique soumis auparavant à l’expérimentation.

Note de bas de page 21 :

Bordron, théoricien de l’iconicité, déclare à ce propos que : « Nous avons vu que la construction auxiliaire ne peut en elle-même se trouver expliquée par la forme logique de la démonstration mais exige au contraire un ajout, en lui-même injustifiable autrement que comme un effet de l’imagination. Même si le théorème final peut, et en un certain sens doit, être mis en forme logique, il n’en demeure pas moins qu’il ne procède pas ainsi au moment précis où son évidence apparaît. Il vaut mieux ici ne pas parler d’intuition car cette faculté est encore plus mystérieuse que le problème qu’elle serait censé résoudre. Disons plutôt que le théorème se manifeste d’abord sous une forme iconique et non à la suite d’un développement symbolique » (Bordron, infra, nous soulignons).

Mais pourquoi serait-ce à l’icône et non pas aux symboles, c’est-à-dire aux signes généraux, de rendre immédiatement reconnaissable et irrésistible la nécessité, et de produire des nouvelles vérités ? Comment Peirce explique-t-il la différence entre symbole et icône abstraite, à part le fait qu’à travers l’icône abstraite, voire le diagramme, on constitue des formes que les symboles ne peuvent pas constituer ?21

Note de bas de page 22 :

Peirce cité dans Chauviré (idem, p. 187).

Quand nous contemplons la prémisse, nous percevons mentalement que, si celle-ci est vraie, la conclusion est vraie. Je dis : nous percevons, parce qu’une connaissance claire suit la contemplation sans aucun processus intermédiaire. Puisque la conclusion devient certaine, il y a une étape à laquelle elle devient directement certaine. Or cela, aucun symbole ne peut le montrer, car un symbole est un signe indirect dépendant de l’association des idées. Un signe exhibant directement le mode de relation est donc requis22.

Note de bas de page 23 :

Voir à ce propos l’analyse de la traduction spatiale des équations mathématiques dans des « photographies calculées » représentant le modèle de fonctionnement des trous noirs dans Dondero (2010c, pp. 111-176).

C’est le « directement » qui explique selon Peirce le « must-be » de l’icône. Mais cet adverbe « directement » ne concerne pas une icône considérée comme une totalité sans médiation ; il s’agit au contraire d’une totalité produite par un travail de manipulation qui a mis en évidence, tout au long de l’expérimentation, des possibilités diverses d’agencement et d’organisation des symboles. On pourrait dire que la démonstration est le résultat d’une manipulation des symboles sur laquelle le jugement de perception, totalisant, met le mot fin. On a démonstration lorsque la forme enveloppe et fige les manipulations qui étaient jusqu’à là encore multiples et virtuelles23.

Note de bas de page 24 :

Sur la question de l’action en mathématiques voir également Rey (infra).

Dans le diagramme, entendu en un sens très large, comme le veut Peirce, il serait ainsi possible d’identifier des instances énonciatives qui en déterminent le fonctionnement. Nous sommes en fait convaincue que la spécificité de l’opérativité du diagramme dépend aussi de la manière et du rythme de l’opération qui le constitue ; comme l’affirme A. Connes : « pour un mathématicien, comprendre une démonstration ce n’est pas refaire une à une les étapes ou les lignes qui la constituent, mais trouver un geste qui comprime, qui permette de saisir d’un seul coup l’ensemble de la démonstration » (Saint-Ours, 2004, p. 42, nous soulignons)24.

Note de bas de page 25 :

Comme l’affirme Knoespel (2004) sur le sillage de Chatelet : « plutôt que se laisser dominer par les théorèmes, la réflexion sur les mathématiques doit inclure une phénoménologie des technologies manuelles dont nous nous servons pour représenter l’espace, au moyen de marques, des dessins, de croquis, de gribouillis, etc. Les figures que nous dessinons sont le site d’un travail d’invention et de découverte dont les théorèmes sont impuissants à rendre compte, tant ils verrouillent notre compréhension des procédures mathématiques » (p. 144).

Note de bas de page 26 :

Comme l’affirme Saint-Ours (2004), il s’agit aussi de penser le diagramme comme un « réservoir de virtualités » collectives. En fait, par exemple les diagrammes des lignes de forces de Faraday sont encore allusifs pour les physiciens contemporains : « ces diagrammes ont un pouvoir “d’évocation péremptoire” dans les théories de champs de jauge actuelles aussi grand que celui qu’ils avaient dans le cadre originel du champ électromagnétique ». Cela nous fait penser au commun destin des diagrammes de Feynman qui sont considérés comme toujours féconds et utilisables aujourd’hui même en théorie des cordes où les lignes sont remplacées par des membranes (Saint-Ours, 2004, p. 43). Les diagrammes de Feynman se sont en fait révélés indispensables pour la théorie des cordes, et ils ont été étendus de façon topologique. Jean-Toussaint Desanti affirme à ce sujet que les diagrammes contiennent plus que ce dont on les a investis à un moment donné.

Le plan du contenu d’un diagramme est constitué par les valences attribuées tout au long d’une multiplication de constitutions et d’opérations spatiales sur son plan de l’expression qui entrent en compétition et qui sont enfin stabilisées selon les prises de décision de l’opérateur : selon cette acception du diagramme, ce qui assure la relation entre la manifestation visuelle, à savoir la pensée devenue saisissable et susceptible d’être expérimentée d’un côté, et la mathématisation, de l’autre, est assurée par notre corporéité. Le plan d’Argand, par exemple, devient pour Chatelet « un plan de travail qui prodigue généreusement des idées à qui décide de s’y installer » (1993, p. 247). L’idée est que l’acte de traçage, le geste d’inscription, ainsi que toutes les technologies de notation peuvent avoir des retombées sur la manière de conduire une pensée25, même une pensée considérée purifiée comme celle mathématique. Le diagramme engendrerait donc un véritable processus énonciatif, produit par un débrayage de la pensée en une gestualité outillée qui met cette dernière à l’épreuve, et d’un embrayage qui va de la visualisation à l’intuition. Il s’agirait d’une intuition déclenchée par les opérations pouvant être générées pendant le geste de la pensée et du traçage lui-même26.

Note de bas de page 27 :

Sur la corporéité entendue comme relation entre énergie et mouvement voir Fontanille (2011).

Nous voyons ici qu’une autre totalité – et non seulement celle des formes enveloppantes du diagramme objectivé –, se révèle comme pertinente : celle de notre sensori-motricité et de notre corporéité, qui forme un autre type de totalité enveloppante et en même temps articulé en des centres d’énergies et en des mouvements27.

Note de bas de page 28 :

C’est cette fermeture qui a fait que la peinture ait été classée parmi les arts de l’espace, même si, à mon sens, cette unité spatiale et, par la suite, une lecture synchronique, sont tout à fait illusoires. La peinture peut être conçue comme un art du temps si on l’examine du point de vue de la saisie perceptive et de l’efficace, voire d’un point de vue sémiotique – et non pas matérialiste.

Partons du cas du tableau : toute peinture nous prescrit une zone privilégiée d’observation et cela grâce à ses bords, voire à son cadre. Ce sont les contours d’énoncé et les limites qui le constituent en unité et qui nous permettent d’étudier sa méréologie, à savoir la manière dont les traits se combinent à l’intérieur d’une topologie où, grâce au cadre, nous pouvons distinguer un haut, un bas, un centre, une périphérie, des relations de symétries, d’englobement, etc.28

Note de bas de page 29 :

Thom (2006).

Dans ses articles sur l’art et l’esthétique29, René Thom affirme que l’esthétique a affaire avec le rapport entre local et global et décrit des relations optimales entre les fragments perceptifs d’un tableau et ses contours. De ces relations dépend la composition réussie de la totalité et les parcours perceptifs qu’elle rend possibles.

Note de bas de page 30 :

Thom (idem, p. 120, nous traduisons et soulignons).

En examinant la peinture, une des caractéristiques de la beauté est donnée, selon Thom, par la localisation : on peut faire apparaître la beauté, et donc une certaine forme de complétude, par l’effet de contour qui permet d’identifier les centres d’attention qui organisent la perception. Le cadre de la peinture permet d’identifier dans son intérieur des centres investis d’une certaine prégnance. Thom affirme à ce propos : « l’espace total de l’œuvre finit par être découpé en des champs partiels qui sont les zones de rayonnement d’un centre (ou plus précisément d’une configuration locale de détails prise comme un individu). On peut imaginer que cette fragmentation provienne d’une sorte de prolifération du contour vers l’intérieur »30.

Note de bas de page 31 :

L’espace à étudier se termine donc avec le socle où la sculpture est posée, ou avec l’architecture, le paysage : et, d’ailleurs, quelles limites donner à ce paysage ?

Si dans le cas du tableau on a une totalité figée a priori et d’une certaine manière indiscutable, cela ne va pas de même avec la sculpture. Le socle fonctionne non pas en tant que dispositif de clôture, comme c’est le cas du cadre en peinture et en photo, mais plutôt comme la source d’un éclatement de perspectives. La sculpture pose le problème du parcours d’observation et de réception de manière plus éclatante que la peinture qui, comme l’affirme Thom, instaure des rapports entre le cadre et les centres d’irradiation de l’attention qu’il contient et construit. L’unité physique de la sculpture n’est qu’illusoire : la totalité demeure en fait virtuelle, les parties qui la composent ne se donnant pas simultanément sur un plan commun. La sculpture en ronde bosse prévoit un corps mouvant faisant des tentatives de découverte, cherchant les parties cachées afin de comprendre comment composer les différentes facettes d’une sculpture en une unité. La sculpture est toujours manquante non seulement parce que nous ne pouvons la saisir qu’en faisant une addition de nos esquisses perceptives, mais aussi parce que, avec sa rondeur, elle rend l’espace d’autour pertinent à la signification31.

Note de bas de page 32 :

Saint-Martin (1987, p. 143) affirme que : « Alors que les positionnements différents du percepteur devant l’objet sculptural peuvent lui donner accès à des régions du champ visuel qui apparaissent tout à fait différentes du champ antérieur perçu, devenu inaccessible aux centrations, parce que situé à un angle opposé ou que certains éléments en relief masquent ce qui avait antérieurement été perçu. Non seulement le percepteur doit-il procéder à une imbrication ponctuelle des colorèmes que fournit chaque région, mais il doit aussi mettre en relation des régions tout à fait hétérogènes et saisir, dans un processus de transformation constante, un type d’infrastructure qui puisse lui révéler leur dynamisme et leur fonction dans la construction de l’objet global. Chacune des régions ainsi interreliées dans la perception doit être relayée à la mémoire perceptuelle à mesure que le déplacement du percepteur l’ouvre à des nouveaux percepts qui transformeront les équilibres/ regroupements déjà effectués, par l’insertion de nouveaux percepts actuels, sensoriellement actifs et qui transforment les ensembles ou sous-ensembles déjà construits » (Saint-Martin, 1987, p. 143.)

Les réflexions de Saint-Martin à ce sujet, contenues à l’intérieur de l’ouvrage Sémiologie du langage visuel, sont précieuses pour saisir cette question de l’exploration32 et de la reconstruction d’une totalité :

Note de bas de page 33 :

Saint-Martin (ibid., p. 194, nous soulignons).

La perception ne peut résulter que d’une longue accumulation de centrations produisant des percepts toujours différents les uns des autres, qui doivent être définis comme régions interreliables les unes aux autres dans des super-régions, aptes à intégrer les percepts subséquents dans une totalité unifiée33.

Note de bas de page 34 :

« Ces relations peuvent être de deux sortes. Dans la sculpture égyptienne, grecque archaïque et romane, ou chez Maillol, l’ambiance reflue vers le bloc, s’y recueille. La masse minérale repose si compacte, si pauvre de saillie, elle offre à la lumière une surface si cohérente et si nue, qu’on a le sentiment que l’espace extérieur la comprime, pèse sur elle de toutes parts. La relation est surtout centripète. Au contraire, dans la statue hellénistique et baroque, ou chez Rodin, la forme sculptée crée un foyer de mouvements dont le dynamisme harcèle ses entours avant de s’y arrêter et de se réfléchir vers sa source. Non seulement l’artiste dote ses figures de mouvements expansifs, mais son modelé abandonne le continu : il bosselle la surface, y accrochant les jeux de la lumière, l’animant de scintillations ; le sculpteur va jusqu’à ouvrir la masse aux rayons lumineux pour mieux la dissoudre dans l’environnement. La relation est d’abord centrifuge » (Van Lier, 1959, p. 2).

Note de bas de page 35 :

Saint-Martin (idem, pp. 194-195). Et elle poursuit ainsi : « Mais aux effets de profondeur liés aux mécanismes perceptifs, à partir d’un seul positionnement du percepteur, la sculpture requiert d’intégrer des percepts et des effets de profondeur, multipliés par les points de vue nombreux, pour construire sa rotondité ».

Note de bas de page 36 :

Van Lier (idem, p. 4).

Avec la sculpture nous n’avons pas un plan commun, mais une suite de plans de projection perceptifs34 : chaque nouvelle perception transforme la précédente et les plans de projection se font et se défont ; la totalité n’apparait pas d’emblée, mais des sous-unités mobiles et dynamiques se construisent comme des agglomérations successives de projections perceptives. La synthèse volumétrique est en continuelle transformation et dépend des intégrations des synthèses les unes avec les autres35. Van Lier parle à propos de ce type de sculpture de la génération d’un profil par l’autre : « Chaque profil se gonfle de tous les autres ; ils s’évoquent, ils se précontiennent et s’appellent ; ils s’impliquent mutuellement »36.

Note de bas de page 37 :

Van Lier (idem, p. 4, nous soulignons).

Nous nous apercevons que Van Lier nous amène à aller un peu plus loin dans la question du processus de composition d’une totalité en faisant intervenir la question de la temporalité et en associant la sculpture à l’écoute de la musique. Il écrit que : « plus l’œuvre est forte, plus les anticipations et les rétentions se resserrent » et que « dans le monde de l’art tout est à la fois libre et exigé »37 : la suite est en même temps imprévisible et inévitable.

Note de bas de page 38 :

Sur la notion d’exemplification en art voir Goodman (1968).

Si le caractère d’inévitabilité (ainsi que d’évidence) dont parle Peirce caractérise la formation d’une totalité perceptive démonstrative dans le cas des diagrammes en mathématiques, est-ce que cette inévitabilité d’effets sur l’observateur, dans le cadre de l’œuvre d’art, pourrait être conçue comme une démonstration en elle-même ? L’objet se révèlerait donc comme artistique lorsqu’il fonctionne à l’instar d’une auto-exemplification de ses propres règles de construction ?38 C’est une hypothèse qui se rapproche de ce qu’affirme Colas-Blaise à propos de la scientifisation de l’art :

Note de bas de page 39 :

Colas-Blaise (2011, nous soulignons).

à côté de l’artistisation de la science, la scientifisation de l’art ne se borne pas à l’exploration d’un nouveau matériau ; elle ne se contente pas de relever un défi technologique – ce serait confondre la science avec la technique ; elle résulte, plus fondamentalement, dans la mise en évidence et la syntagmatisation des différentes étapes ou des paliers d’une pratique (de création, sur le modèle de la recherche scientifique) finalisée.39

Note de bas de page 40 :

Thom (idem, pp. 120-121, nous traduisons et soulignons).

son [de l’œuvre d’art] effet esthétique, sa beauté seront liés à l’accord plus ou moins parfait entre la fragmentation perceptive et un modèle idéal obtenu en soumettant l’espace du tableau à une partition abstraite, définie par une structure de caractère algébrique – un logos catastrophiste, justement40.

Note de bas de page 41 :

Chauviré (2008, p. 36, nous soulignons).

Cette affirmation de Thom concernant le tableau est à notre sens à mettre en relation avec une affirmation de Peirce concernant le diagramme : « toute déduction procède par construction de diagrammes, c’est-à-dire de signes appartenant à la classe des icônes, qui exhibent des relations existant entre les parties d’un état de chose (state of thing) idéal et hypothétique, imaginé par le mathématicien et susceptible d’être observé »41.

Note de bas de page 42 :

Que faut-il conserver lors d’un déplacement, d’une restauration d’une installation ? Est-ce que dans le land art c’est l’horizon (à savoir jusqu’où l’être humain peut regarder) qui donne les bords à l’espace de l’installation sculpturale ou est-ce les bords offerts par la morphologie du paysage, vu d’en haut, à travers le survol et la photo aérienne ?

Les cas de l’installation artistique et de l’art environnemental sont encore plus problématiques que la sculpture en ronde bosse : ils sont souvent même sans bords matériels et, en tout cas, sans centres préconstitués. Comment pouvoir saisir une beauté diffuse, environnementale, si c’est le bord qui a toujours été considéré comme le filtre entre le non-beau et le beau ? Peut-on concevoir la beauté comme quelque chose de non localisé, de non concentré ? Comment construire les bords des installations qui se constituent après en avoir fait l’expérience ?42